BĐT cô si

Question

$a,b,c$ là 3 số thực không âm. Chứng minh rằng:

$81abc.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq (a+b+c)^{5}$

score 2 · Answer 1

Trước hết, đặt

$x=ab,y=bc,z=ca$
Từ

$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$ ta suy ra

$(ab+bc+ca)^2\geq 3(a^2bc+b^2ac+c^2ab)=3abc(a+b+c)$

Vậy ta có

$81abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 27(ab+bc+ca)^2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$=27(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\leq (ab+bc+ca+ab+bc+ca+a^{2}+b^{2}+c^{2})^3=(a+b+c)^{6}$

Vậy ta suy ra ĐPCM

1 Đáp án