Trước hết, đặt $x=ab,y=bc,z=ca$
Từ $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$ ta suy ra
$(ab+bc+ca)^2\geq 3(a^2bc+b^2ac+c^2ab)=3abc(a+b+c)$
Vậy ta có
$81abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 27(ab+bc+ca)^2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$=27(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\leq (ab+bc+ca+ab+bc+ca+a^{2}+b^{2}+c^{2})^3=(a+b+c)^{6}$
Vậy ta suy ra ĐPCM