gjai gjup minh bai nay nha.thanks!

Question

Cho tứ diên OABC (vuông tại O),biêt rằng OA,OB,OC lần luot hop voi mat phang (ABC) cac goc $\alpha,\beta,\gamma$.CMR:
1,$cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma=2$
2,$S^{2}OAB+S^{2}OBC+S^{2}OCA=S^{2}ABC$

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Kí hiệu $S_{OBC}=S_a,S_{OCA}=S_b,S_{OAB}=S_c,S_{ABC}=S$.
Ta có: $3V_{OABC}=3V=aS_a=bS_b=cS_c=hS$.
Kết hợp với $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ ta được:
$\frac{9V^2}{h^2}=\frac{9V^2}{a^2}+\frac{9V^2}{b^2}+\frac{9V^2}{c^2}$ hay $S^2=S_a^2+S_b^2+S_c^2$. (đpcm)

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Gọi $M,N,P,H$ là hình chiếu của $O$ trên $BC,CA,AB,(ABC)$.
Để cho gọn, ta kí hiệu $OA=a,OB=b,OC=c,OM=h_a,ON=h_b,OP=h_c,OH=h$.
Ta có: $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$
Mặt khác: $\frac{1}{h_a^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2},\frac{1}{h_b^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2},\frac{1}{h_c^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}.$
Từ đó suy ra: $\frac{2}{h^2}=\frac{1}{h_a^2}+\frac{1}{h_b^2}+\frac{1}{h_c^2}.$
Mà $\cos \alpha =\frac{h}{h_a},\cos \beta =\frac{h}{h_b},\cos \gamma =\frac{h}{h_c}$ nên ta có đpcm.