nhị thức newton. tính giá trị

Question

$A=\frac{1}{1\times 2}C^{0}_{2n+1} + \frac{1}{2\times 3}C^{1}_{2n+1} + ....+\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}C^{2n+1}_{2n+1}$
Bài này làm bt thì không khó. nhưng cho mình hỏi tính hệ số c kiểu gì . bới nguyên hàm 2 lần. thì sao tìm đc c

$B= \frac{C^{0}_{2n+1}}{1} + 2^2\frac{C^{2}_{2n+1}}{3}+ ...+ 2^{2n}\frac{C^{2n}_{2n+1}}{2n+1}$

hình như câu B nguyên hàm 1 lần và đạo hàm 1 lần
câu b mình chưa giải quyết đc :) . mình muốn hỏi là khi sử dụng nguyên hàm trong bài toán này thì nó có hệ số c. thì tính hệ số c kiểu gì
Ý bạn là muốn được giải quyết điều gì trong bài toán này?

score 4 · Answer 1

a.
Ta có:

$(x+1)^{2n+1}=C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}+C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+\ldots+C_{2n+1}^1x+C_{2n+1}^0$

$(x-1)^{2n+1}=C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}-C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+\ldots+C_{2n+1}^1x-C_{2n+1}^0$
Suy ra:

$(x+1)^{2n+1}-(x-1)^{2n+1}=2C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+2C_{2n+1}^{2n-2}x^{2n-2}+\ldots+2C_{2n+1}^2x^2+2C_{2n+1}^0$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:

$\frac{1}{2n+2}[(x+1)^{2n+2}-(x-1)^{2n+2}]=\frac{2C_{2n+1}^{2n}}{2n+1}x^{2n+1}+2\frac{C_{2n+1}^{2n-2}}{2n-1}x^{2n-1}+\ldots+\frac{2C_{2n+1}^2}{3}x^3+\frac{2C_{2n+1}^0}{1}x$
Cho

$x=2$ ta được:

$4B=\frac{3^{2n+2}-1}{2n+2}\Rightarrow B=\frac{3^{2n+2}-1}{8(n+1)}$

score 4 · Answer 2

a.
Ta có:

$(x+1)^{2n+1}=C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}+C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+\ldots+C_{2n+1}^1x+C_{2n+1}^0$

$\Rightarrow \int\limits_0^t(x+1)^{2n+1}dx=\int\limits_0^t\left(C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}+C_{2n+1}^{2n}x^{2n}+\ldots+C_{2n+1}^1x+C_{2n+1}^0\right)dx$

$\Rightarrow \frac{1}{2n+2}(t+1)^{2n+2}=\frac{C_{2n+1}^{2n+1}}{2n+2}t^{2n+2}+\frac{C_{2n+1}^{2n}}{2n+1}t^{2n+1}+\ldots+\frac{C_{2n+1}^1}{2}t^2+\frac{C_{2n+1}^0}{1}t$

$\Rightarrow \int\limits_0^x\frac{1}{2n+2}(t+1)^{2n+2}dt=\int\limits_0^x\left(\frac{C_{2n+1}^{2n+1}}{2n+2}t^{2n+2}+\frac{C_{2n+1}^{2n}}{2n+1}t^{2n+1}+\ldots+\frac{C_{2n+1}^1}{2}t^2+\frac{C_{2n+1}^0}{1}t\right)dt$

$\Rightarrow \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}(x+1)^{2n+3}=\frac{C_{2n+1}^{2n+1}}{(2n+2)(2n+3)}x^{2n+3}+\frac{C_{2n+1}^{2n}}{(2n+1)(2n+2)}x^{2n+2}+\ldots+\frac{C_{2n+1}^1}{2.3}x^3+\frac{C_{2n+1}^0}{1.2}x^2$
Cho

$x=1$ ta được: