hệ thức lượng

Question

cho $\Delta ABC$ có d là khoảng cách từ trọng tâm đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. CMR:
$R^{2}-d^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 1/21/2013 9:59:15 PM

Ta biết kết quả sau
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$
Và
$2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-\left ( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right )^2+ \overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2=-\left (\overrightarrow{BA} \right )^2+ \overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2=-c^2+2R^2$
Với $G$ là trọng tâm của tam giác, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp..
Suy ra
$\left ( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right )^2=\left ( 3\overrightarrow{OG}\right )^2$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}=9d^2$
$\Leftrightarrow3R^2+\left (-c^2+2R^2 \right)+\left (-a^2+2R^2 \right)+\left (-b^2+2R^2 \right)=9d^2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=9R^2-9d^2$ , đpcm.