|
|
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}+9 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}+9 \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-3;y-1;z-1)+4(x-7;y-3;z-9)+9(x-2;y-2;z-2)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}14x-49=0\\14y-31=0\\14z-55=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{31}{14}\\z=\frac{55}{14}\end{array}\right.\Leftrightarrow I(\frac{7}{2};\frac{31}{14};\frac{55}{14})$
Khi đó ta có:
$|\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+9 \overrightarrow{MC}|$
$=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+4(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+9(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})|$
$=|14 \overrightarrow{MI}|=14MI$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+9 \overrightarrow{MC}|$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{7}{2};\frac{31}{14};\frac{55}{14})$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;1)$ có phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{31}{14}+t\\z=\frac{55}{14}+t\end{array}\right. (t\in\mathbb{R})$
Tọa
độ $M$ là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{31}{14}+t\\z=\frac{55}{14}+t\\x+y+z+3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}t=\frac{-59}{14}\\x=\frac{-5}{7}\\y=-2\\z=\frac{-2}{7}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{-5}{7};-2;\frac{-2}{7})$
|