|
|
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (x-1;y-2;z-5)+(x-1;y-4;z-3)+(x-5;y-2;z-1)=(0;0;0)$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x-7=0\\3y-8=0\\3z-9=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}\\y=\frac{8}{3}\\z=3\end{array}\right.\Leftrightarrow I(\frac{7}{3};\frac{8}{3};3)$
Khi đó ta có:
$MA^2+MB^2+MC^2$
$=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=3MI^2+2 \overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2$
$=3MI^2+IA^2+IB^2+IC^2$
Vậy $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$
Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{7}{3};\frac{8}{3};3)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ có phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}+t\\y=\frac{8}{3}-t\\z=3-t\end{array}\right. (t\in\mathbb{R})$
Tọa
độ $M$ là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}+t\\y=\frac{8}{3}-t\\z=3-t\\x-y-z-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}t=\frac{19}{9}\\x=\frac{40}{9}\\y=\frac{5}{9}\\z=\frac{8}{9}\end{array}\right.$
Vậy: $M(\frac{40}{9};\frac{5}{9};\frac{8}{9})$
|