|
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ Ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow (x-1;y-2;z-5)+2(x-1;y-4;z-3)+5(x-5;y-2;z-1)=(0;0;0)$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}8x-28=0\\8y-20=0\\8z-16=0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{5}{2}\\z=2\end{array}\right.\Leftrightarrow
I(\frac{7}{2};\frac{5}{2};2)$ Khi đó ta có: $MA^2+2MB^2+5MC^2$ $=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+5(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$ $=8MI^2+2 \overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC})+IA^2+2IB^2+5IC^2$ $=8MI^2+IA^2+2IB^2+5IC^2$ Vậy $MA^2+2MB^2+5MC^2$ đạt Min $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu của $I$ xuống $(P)$ Đường thẳng $IM$ đi qua $I(\frac{7}{2};\frac{5}{2};2)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ có phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{5}{2}-t\\z=2-t\end{array}\right.
(t\in\mathbb{R})$ Tọa
độ $M$ là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}+t\\y=\frac{5}{2}-t\\z=2-t\\x-y-z-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}t=\frac{4}{3}\\x=\frac{29}{6}\\y=\frac{7}{6}\\z=\frac{2}{3}\end{array}\right.$ Vậy: $M(\frac{29}{6};\frac{7}{6};\frac{2}{3})$
|