Bất đẳng thức

Question

Cho a, b, c

$\in$

$\left[ {0;1} \right]$ ; a+b+c=2.
CM: ab + bc + ca

$\geqslant$ 2abc +

$\frac{20}{27}$

score 1 · Answer 1

Đặt

$a=\frac{1}{2}+x,b=\frac{1}{2}+y,c=\frac{1}{2}+z$ thì

$-\frac{1}{2}\leq x,y,z\leq \frac{1}{2}$ và

$x+y+z=\frac{1}{2}$ .
Khi đó:

$ab+bc+ca-2abc=\frac{3}{4}-2xyz$ .
BĐT cần chứng minh tương đương với

$xyz\leq \frac{1}{216}$ .
Vì

$x+y+z>0$ nên giả sử

$x>0$ .
Vì

$x\leq \frac{1}{2}$ và

$x+y+z=\frac{1}{2}$ nên

$y+z\geq 0$ , có thể giả sử

$y\geq 0$ .
Nếu

$z<0$ thì

$xyz<0$ .
Nếu

$z\geq 0$ thì dùng BĐT Cauchy ta được đpcm.

1 Đáp án