|
|
Đặt $a=\frac{1}{2}+x,b=\frac{1}{2}+y,c=\frac{1}{2}+z$ thì $-\frac{1}{2}\leq x,y,z\leq \frac{1}{2}$ và $x+y+z=\frac{1}{2}$.
Khi đó: $ab+bc+ca-2abc=\frac{3}{4}-2xyz$.
BĐT cần chứng minh tương đương với $xyz\leq \frac{1}{216}$.
Vì $x+y+z>0$ nên giả sử $x>0$.
Vì $x\leq \frac{1}{2}$ và $x+y+z=\frac{1}{2}$ nên $y+z\geq 0$, có thể giả sử $y\geq 0$.
Nếu $z<0$ thì $xyz<0$.
Nếu $z\geq 0$ thì dùng BĐT Cauchy ta được đpcm.
|