Lượng giác.

Question

1. Hàm số $y=\dfrac{2\tan4x}{1-\tan^24x}$ là hàm tuần hoàn có chu kì $k\pi$ với hệ số $k$ bằng bao nhiêu?

2. Tập hợp nghiệm của phương trình $\tan(3x-15^o)=1$ trên khoảng $(-180^o;\,90^o)$ có số phần tử là bao nhiêu?

3. Với mọi giá trị của $x$, hàm số: $y=4(\sin^6x+\cos^6x)-5(\sin^4x+\cos^4x)-\dfrac{1}{4}\cos4x+\dfrac{1}{4}$ có giá trị không đổi là bao nhiêu?

4. Tính $A=\sin^4\dfrac{\pi}{16}+\sin^4\dfrac{3\pi}{16}+\sin^4\dfrac{5\pi}{16}+\sin^4\dfrac{7\pi}{16}$

5. Tìm max của $y=\dfrac{2\cos x+2}{\cos x+\sin x+2}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 1/23/2013 9:27:54 PM

4.
$A=\sin^4\dfrac{\pi}{16}+\sin^4\dfrac{3\pi}{16}+\sin^4\dfrac{5\pi}{16}+\sin^4\dfrac{7\pi}{16}$
$A=\sin^4\dfrac{\pi}{16}+\sin^4\dfrac{3\pi}{16}+\cos^4\left (\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{5\pi}{16} \right )+\cos^4\left (\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{7\pi}{16} \right )$
$A=\sin^4\dfrac{\pi}{16}+\sin^4\dfrac{3\pi}{16}+\cos^4\left (\dfrac{3\pi}{16} \right )+\cos^4\left (\dfrac{\pi}{16} \right )$
$A=\left ( \sin^2\dfrac{\pi}{16}+\cos^2\dfrac{\pi}{16} \right )^2-2\sin^2\dfrac{\pi}{16}.\cos^2\dfrac{\pi}{16}+\left ( \sin^2\dfrac{3\pi}{16}+\cos^2\dfrac{3\pi}{16} \right )^2-2\sin^2\dfrac{3\pi}{16}.\cos^2\dfrac{3\pi}{16}$
$A=1-\dfrac{1}{2}\sin^2\dfrac{\pi}{8}+1-\dfrac{1}{2}\sin^2\dfrac{3\pi}{8}$
$A=2-\dfrac{1}{2}\sin^2\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{2}\cos^2\left (\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\pi}{8} \right )$
$A=2-\dfrac{1}{2}\sin^2\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{2}\cos^2\dfrac{\pi}{8}$
$A=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 1/23/2013 7:55:39 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

5.
$y=\dfrac{2\cos x+2}{\cos x+\sin x+2}\Leftrightarrow y\cos x+y\sin x+2y=2\cos x+2$
$\Leftrightarrow (y-2)\cos x+y\sin x=2-2y$
Để PT có nghiệm thì ta phải có $(2-2y)^2 \le (y-2)^2+y^2 \Leftrightarrow (2-2y)^2- (y-2)^2-y^2 \le 0$
$y(y-2) \le 0\Leftrightarrow 0 \le y \le 2.$
Vậy $\max y =2\Leftrightarrow (2-2)\cos x+2\sin x=2-2.2\Leftrightarrow \sin x =-1.$

Trả lời 23-01-13 07:55 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 1/23/2013 7:51:46 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

3.
$y=4(\sin^6x+\cos^6x)-5(\sin^4x+\cos^4x)-\dfrac{1}{4}\cos4x+\dfrac{1}{4}$
$y=4\left[ {(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^2x.\cos^2x(\sin^2x+\cos^2x)} \right]-5\left[ {(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x.\cos^2x} \right]-\dfrac{1}{4}\cos4x+\dfrac{1}{4}$
$y=4\left[ {1-3\sin^2x.\cos^2x} \right]-5\left[ {1-2\sin^2x.\cos^2x} \right]-\dfrac{1}{4}\left ( 1-2\sin^22x \right )+\dfrac{1}{4}$
$y=4-12\sin^2x.\cos^2x-5+10\sin^2x.\cos^2x-\dfrac{1}{4}+2\sin^2x.\cos^2x +\dfrac{1}{4}$
$y=-1$

Trả lời 23-01-13 07:51 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 1/23/2013 7:41:47 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

2.
$\tan(3x-15^o)=1=\tan 45^o\Leftrightarrow 3x-15^o=45^o + k180^o \Leftrightarrow 3x=60^o + k180^o\quad k \in \mathbb Z.$
Ta có
$\Leftrightarrow \begin{cases}-180^o<x<90^o \\ k \in \mathbb Z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-540^o<3x<270^o \\ k \in \mathbb Z \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}-540^o<60^o + k180^o<270^o \\ k \in \mathbb Z \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-600^o< k180^o<210^o \\ k \in \mathbb Z \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}-3\le k\le 1 \\ k \in \mathbb Z \end{cases}\Rightarrow k \in \left\{ {-3,-2,-1,0,1} \right\}$
Như vậy PT trên có $5$ nghiệm.

Trả lời 23-01-13 07:41 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 5 · 1/23/2013 7:34:57 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

1.
$y=\dfrac{2\tan4x}{1-\tan^24x}=\dfrac{2\dfrac{\sin 4x}{\cos4x}}{1-\dfrac{\sin^2 4x}{\cos^24x}}=\dfrac{2\dfrac{\sin 4x}{\cos4x}}{\dfrac{\cos^24x-\sin^2 4x}{\cos^24x}}=\dfrac{2\dfrac{\sin 4x}{\cos4x}}{\dfrac{\cos8x}{\cos^24x}}=2\dfrac{\sin 4x\cos 4x}{\cos8x}=\tan 8x$
Như vậy $y=f(x)=\tan 8x$
Nên $f(x+\dfrac{\pi}{8})=\tan (8x+8.\dfrac{\pi}{8})=\tan (8x+\pi)=\tan 8x =f(x)$
Như vậy $k=\dfrac{1}{8}$.

Trả lời 23-01-13 07:34 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M