|
|
$Vì x,y,z là độ dài 3 cạnh tam giác nên :1-\frac{x}{y+z},1-\frac{y}{x+z},1-\frac{z}{x+y}\geq 0Ta Có:$
$P=\sqrt{1-\frac{x}{y+z}} +\sqrt{1-\frac{y}{x+z}}+\sqrt{1-\frac{z}{x+y}}\leq \frac{1-\frac{x}{y+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{y}{x+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{z}{x+y}+1}{2}$
$Hay 2P \leq 6-(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})$
$ Đặt A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$
$Ta có:Áp dụng hệ quả bđt Bunhiacopxi $
$Ta có :A\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}$
$Mà \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}.Dễ dàng chứng minh thôi nhân chéo là ra $
$Suy ra A\geqslant \frac{3}{2} $
$Nên P \leq\frac{6-\frac{3}{2}}{2}$$<=>P\leq \frac{9}{4}$
$Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z.Hay tam giác đó đều $
$Vậy max P=\frac{9}{4} Khi tam giác đều $
|