Bài 1

Question

Does there exist a positive k such that $2^k+3^k$ is a perfect square

score 3 · Answer 1

Nếu k=2m+1 thì $2^k$ chia 3 dư 2
nên $2^k+3^k$ chia 3 dư 2, suy ra nó không thể là số chính phương.
Vậy k chẵn
Đặt $k=2m$
Giả sử $2^{2m}+3^{2m}=k^2 \Rightarrow 2^{2m}=(k+3^m)(k-3^m)$
Vậy $k-3^m=2^{m_1},k+3^m=2^{m_2}\Rightarrow 3^m=\frac{2^{m_2}-2^{m_1}}{2}$
Do $3^{m}$ nguyên suy ra $m_1>0 \Rightarrow 3^m=2^{m_2-1}-2^{m_1-1}$
Suy ra $m_1-1=0$ (Nếu $m_1-1>0$ thì vế trái lẻ, vế phải chẵn)
Vậy $m_1=1$ Suy ra $m_1=2m-1$ => $3^m=2^{2m-2}-1$
Điều này không xảy ra với m>5. Với các giá trị khác của m cũng thẻ thể dễ dàng kiểm tra được chúng không thỏa mãn
Vậy không tồn tại k

score 6 · Answer 2

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Với $k=1$ thì $2^k+3^k=5$, không thỏa mãn.
Với $k\ge2$, ta xét các trường hợp sau:
Nếu $k=2l+1\Rightarrow 2^k+3^k=2^{2l+1}+3.9^l\equiv3( $mod $4)$, loại.
Nếu $k=4l\Rightarrow 2^k+3^k=16^l+81^l\equiv2( $mod $5)$, loại.
Nếu $k=4l+2\Rightarrow 2^k+3^k=4.16^l+9.81^l\equiv3( $mod $5)$, loại.
Vậy không tồn tại $k$ thỏa mãn.