hệ thức lượng trong tam giác

Question

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn mỗi giá trị sau thì tam giác ABC đều:
1) $\cos A\cos B\cos C=\frac{1}{8}$
2) $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\frac{1}{8}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 2/3/2013 8:13:40 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

2)
Ta có:
$\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}=2\sin(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})\cos(\dfrac{A}{4}-\dfrac{B}{4})\le2\sin(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})$
$\sin\dfrac{C}{2}+\sin\dfrac{\pi}{6}=2\sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})\cos(\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12})\le2\sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})$
$\sin(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})+\sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})=2\sin\dfrac{\pi}{6}\cos(\dfrac{A}{8}+\dfrac{B}{8}-\dfrac{C}{8}-\dfrac{\pi}{24})\le2\sin\dfrac{\pi}{6}$
Suy ra: $\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\le3\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3}{2}$
Suy ra: $\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\le\left(\dfrac{\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2}}{3}\right)^3\le\dfrac{1}{8}$
Điều này chứng tỏ $\triangle ABC$ đều.

Trả lời 03-02-13 08:13 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 03-02-13 08:14 PM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 2/3/2013 8:12:31 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

1) Từ điều kiện của đẳng thức suy ra $\cos A , \cos B, \cos C >0.$
Ta có:
$\cos A+\cos B=2\cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})\cos(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2})\le2\cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})$
$\cos C+\cos\dfrac{\pi}{3}=2\cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6})\cos(\dfrac{C}{2}-\dfrac{\pi}{6})\le2\cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6})$
$\cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})+\cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6})=2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4}-\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12})\le2\cos\dfrac{\pi}{3}$
Suy ra: $\cos A+\cos B+\cos C\le3\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{2}$
và $\cos A\cos B\cos C \le \left ( \dfrac{\cos A+\cos B+\cos C}{3} \right )^3\le\dfrac{1}{8}$
Điều này chứng tỏ $\triangle ABC$ đều.

Trả lời 03-02-13 08:12 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

hi. thanks a nha – lazuzu123 04-02-13 10:53 AM

Cái $\pi $ để nó xảy ra dấu bằng. Thế a mới chọn cộng với $\frac{\pi}{3}$ – Trần Nhật Tân 03-02-13 08:30 PM

thế còn cái pi là sao ạ – lazuzu123 03-02-13 08:24 PM

Hai dòng dầu là dùng công thức cộng $\cos a \cos b$ và BĐT $\cos X \le 1 , \quad \forall x$ – Trần Nhật Tân 03-02-13 08:22 PM

nhưng mà cái dòng thứ 2 ở chỗ cosC ý ạ. e trả hỉu. hơ – lazuzu123 03-02-13 08:16 PM

toàn cái cơ bản mà em. Đọc lại kỹ nhé! – Trần Nhật Tân 03-02-13 08:15 PM

a có cách nào khác ko ạ – lazuzu123 03-02-13 08:15 PM

ơ cái này e chưa học ạ – lazuzu123 03-02-13 08:14 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 03-02-13 08:14 PM