giai han kho'

Question

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{1-\tan x}{1-\cot x}$

2. $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x) -1 }{x}$

Bây giờ em ấn vào chữ "sửa" thì sẽ biết anh làm như thế nào? Nhưng xem xong đừng ấn chữ "cập nhật" nhé!

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 2/14/2013 9:49:42 PM

2. Trước hết nêu ra một đẳng thức sau : Với mọi biểu thức $A_1,A_2,A_3,A_4$ ta có
$A_1A_2A_3A_4-1=A_1A_2A_3(A_4-1)+A_1A_2(A_3-1)+A_1(A_2-1)+(A_1-1)$
Để chứng minh điều này bạn chỉ cần khai triển và rút gọn vế phải.
Bây giờ đặt $A_1=1+x, A_2=1+2x,A_3=1+3x,A_4=1+4x$. Ta có
$L= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x) -1 }{x}= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{A_1A_2A_3A_4-1 }{x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1A_2A_3.\dfrac{A_4-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1A_2.\dfrac{A_3-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1.\dfrac{A_2-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_1-1 }{x} \right )$
Chú ý rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_1=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_2=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_3=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_4=1$
và $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_1-1 }{x} \right )=1, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_2-1 }{x} \right )=2, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_3-1 }{x} \right )=3, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_4-1 }{x} \right )=4$.
Vậy $L=4+3+2+1=10.$
$\textbf{Chú ý} :$ Bài toán trên còn được tổng quát cho $n$ số.

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 2/14/2013 9:38:33 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

1.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{1-\tan x}{1-\cot x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{1-\tan x}{1-\cot x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{1-\dfrac{\sin x}{\cos x}}{1-\dfrac{\cos x}{\sin x}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x}}{\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin x}}=-\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{4}}\tan x=-1$

Trả lời 14-02-13 09:38 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 14-02-13 09:50 PM