mấy bài tích phân nhờ các bạn giải giúp

Question

1. $I=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\sin ^{2}x}{3^{x}+1}dx$
2. $I=\int\limits_{e}^{e^{2}}(\dfrac{1}{\ln^{2}x}-\dfrac{1}{\ln x})dx$

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

2.
Đặt $t=\ln x\Rightarrow x=e^t\Rightarrow dx=e^tdt$
Đổi cận: $x=e\Rightarrow t=1$
                $x=e^2\Rightarrow t=2$
Khi đó:
$I=\int\limits_1^2\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}\right)e^tdt$
    $=\int\limits_1^2\dfrac{e^tdt}{t^2}-\int\limits_1^2\dfrac{d(e^t)}{t}$
    $=\int\limits_1^2\dfrac{e^tdt}{t^2}-\dfrac{e^t}{t} \left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.+\int\limits_1^2e^td(\dfrac{1}{t})$
    $=\int\limits_1^2\dfrac{e^tdt}{t^2}+e-\dfrac{e^2}{2}-\int\limits_1^2\dfrac{e^tdt}{t^2}=e-\dfrac{e^2}{2}$

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks! – khangnguyenthanh 16-02-13 10:12 AM

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

1.
Đặt $x=-t\Rightarrow dx=-dt$
Đổi cận: $x=-\pi\Rightarrow t=\pi$
                $x=\pi\Rightarrow t=-\pi$
Khi đó:
$I=\int\limits_{\pi}^{-\pi}\dfrac{-\sin^2(-t)dt}{3^{-t}+1}$
    $=\int\limits_{\pi}^{-\pi}\dfrac{-3^t\sin^2tdt}{3^t+1}$
    $=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\dfrac{3^x\sin^2xdx}{3^x+1}$
Suy ra:
$2I=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2xdx$
      $=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1-\cos2x}{2}dx$
      $=\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin2x}{4}\right)\left|\begin{array}{l}\pi\\-\pi\end{array}\right.=\pi$
$\Rightarrow I=\dfrac{\pi}{2}$

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks! – khangnguyenthanh 16-02-13 10:11 AM