Tìm GTNN

Question

Cho $ x,y > 0, x+y\leq 1.$ Tìm GTNN: $ P= \dfrac{1}{x^{2} +y^{2}}+ \dfrac{1}{xy} +4xy$.

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 2/16/2013 11:32:59 AM

Bài này bạn cần nắm được BĐT Cô-si và BĐT quen thuộc sau
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b} \quad \forall a,b >0.$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b.$
Áp dụng ta có
$\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy} \ge \dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{(x+y)^2} \ge 4\qquad (1)$, do $x+y \le 1.$
Theo BĐT Cô-si
$\dfrac{1}{4xy} +4xy \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}=2\qquad (2)$
cũng theo BĐt Cô-si
$x+y \ge 2\sqrt{xy} \implies 1 \ge (x+y)^2 \ge 4xy \implies \dfrac{1}{4xy} \ge 1\qquad (3)$
Cộng theo từng vế (1), (2) và (3) ta được
$\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy} +4xy + \dfrac{1}{4xy} \ge 4+2+1$
$\implies P \ge 7.$
Vậy $\min P=7 \iff x=y=1/2.$

Trả lời 16-02-13 11:32 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 16-02-13 11:33 AM