Bài 1

Question

a) Tam giác ABC thỏa mãn $\tan \frac{A}{2}.\tan\frac{B}{2}=\frac{1}{2} $. Chứng minh rằng a+b=3c.
b) Tam giác ABC thỏa mãn $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$
và $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\frac{1}{10}$. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.

score 2 · Answer 1

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

a.
Ta có:
$S=p(p-a)\tan\dfrac{A}{2}=p(p-b)\tan\dfrac{B}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$\Rightarrow \tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{B}{2}=\dfrac{S^2}{p^2(p-a)(p-b)}=\dfrac{p-c}{p}=\dfrac{a+b-c}{a+b+c}$
Mà: $\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=3c$

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks! – khangnguyenthanh 17-02-13 10:35 AM

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

b.
Theo phần (a) ta có: $a+b=3c \Leftrightarrow p=2c          (1)$
Mặt khác:
$S=pr=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow pabc\dfrac{r}{4R}=S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$
Thay $(1)$ vào biểu thức trên ta được:
$ab\dfrac{r}{4R}=p^2-(a+b)p+ab\Rightarrow (1-\dfrac{r}{4R})ab=2c^2     (2)$
Lại có:
$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=pr\Rightarrow r=\dfrac{ab\sin C}{a+b+c}=\dfrac{4R^2\sin A\sin B\sin C}{2R(\sin A+\sin B+\sin C)}$
Suy ra: $\dfrac{r}{4R}=\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}$
Mà ta có:
$\sin A+\sin B+\sin C= 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}+2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}$
                                          $=2\cos\dfrac{A}{2}(\cos\dfrac{B+C}{2}+\cos\dfrac{B-C}{2})$
                                          $=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\dfrac{8\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}{8\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}=\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\dfrac{1}{10}$
Thay vào $(2)$ ta được: $ab=\dfrac{20}{9}c^2$
$\Rightarrow ab=20(a+b)^2$
$\Leftrightarrow 20a^2-41ab+20b^2=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4a=5b\\5a=4b\end{array}\right.$
Cả 2 trường hợp đều dẫn tới $\Delta ABc$ vuông. (theo Pytago)

lịch sử

thanks nhe. hì – lazuzu123 18-02-13 10:00 AM

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks! – khangnguyenthanh 18-02-13 09:38 AM

mình sửa lại rồi nhá. – khangnguyenthanh 18-02-13 09:38 AM

a ơi cái chỗ mà tan ý e ko hỉu. sin mới bằng 1/10 cơ mà – lazuzu123 17-02-13 11:56 AM