|
|
Dãy số $(U_n)$ xác định bởi $\begin{cases} U_1=1\\ U_{n+1}=1+\sqrt{U_n},\forall n\end{cases}$
Chú ý rằng $U_2>U_1$, bằng quy nạp, ta chứng minh được $U_{n+1}>U_n$.
Cũng bằng quy nạp, ta chứng minh được $U_n<3,\forall n$.
Do đó $(U_n)$ là dãy tăng, bị chặn trên bởi 3 nên hội tụ.
Giả sử $\lim_{n\to \infty}U_n=L$ thì $L=1+\sqrt{L}\Rightarrow L=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
|