Giới hạn của dãy số

Question

cho dãy ($ a_{n}$) :
\begin{cases}a_{1}=1 \\ a_{n+1}=a_{n} +\frac{1}{a_{n}}\end{cases} (n$\geq $1)
CMR $\mathop {\lim }\limits_{n \to+ \infty } \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$

nếu có thể nhờ mọi người giải giúp trong tối thứ 7 hôm nay nhé

score 2 · Answer 1

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Dễ thấy $(a_n)$ là dãy tăng.
Giả sử $(a_n)$ bị chặn trên thì $\exists \lim a_n=L$.
Khi đó: $L=L+\frac{1}{L}$ (vô lý).
Vậy $(a_n)$ không bị chặn hay $\lim a_n=+\infty.$
Ta có: $a_{n+1}^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}+2\Rightarrow a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2}.$
Vì $\lim a_n=+\infty$ nên $\lim (a_{n+1}^2-a_n^2)=2$.
Đặt $a_{n+1}^2-a_n^2=b_n$ ta được dãy $(b_n)$ thỏa mãn $\lim b_n=2$.
Áp dụng định lý trung bình Ceraso: $\lim \frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}=2$ hay $\lim \frac{a_{n+1}^2-a_1^2}{n}=2$.
Từ đó suy ra $\lim \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$.