Bài toán hình không gian về vecto.

Question

Cho tứ diện $ABCD.$ Chứng minh rằng:
a) Nếu $AB=AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$ thì $AB\perp CD;\,AC\perp BD;\,AD\perp BC.$
b) Nếu $AB=AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^o;\,\widehat{CAD}=90^o$ thì $IJ\perp AB;\,IJ\perp CD.$ (Với $I,\,J$ là trung điểm $AB,\,CD).$

score 2 · Answer 1

Câu 1/
a/
+Dễ thấy với AB=AC=AD và $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB} $ thì $\triangle BAC=\triangle CAD=\triangle DAB$
=> BC=CD=DB hay $\triangle BCD$ đều gọi G là trọng tâm $\triangle BCD$ => G là hình chiếu của A xuống mp (BCD)
+Xét $\triangle BCD$ đều có G là trọng tâm => BG vuông góc CD; (1)
+Mặt khác AG vuông góc mp(BCD) nên AG vuông góc CD (2)
(1)(2)=> CD vuông góc AB tương tự AC vuông góc BD và AD vuông góc BC.
b/
+Từ giả thiết AB=AC=AD và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$
ta dễ dàng suy ra $\triangle BAC=\triangle BAD$=> BC=BD
=> $\triangle BCD$ cân tại B => BJ là trung tuyến cũng là đường cao => BJ vuông góc CD (3)
Mặt khác xét $\triangle CAD$ có AC=AD và $\widehat{DAC}=90^0$ nên $\triangle CAD$ vuông cân
=> Aj vừa là trung tuyến vừa là đường cao => AJ vuông góc CD (4)
(3)(4)=> CD vuông góc mp (ABJ) => CD vuông góc IJ
+Từ gt AB=AC=AD và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^0$=> $\triangle BAC$ và $\triangle BAD$ đều => AC=BC=AD=BD hay
$\triangle CAD=\triangle CBD$=> AJ=BJ => $\triangle AJB$ cân tại I => IJ là trung tuyến cũng là đường cao=> IJ vuông AB