cm hằng đẳng thức

Question

Ta có : $x + x^2 + x^3 + ... + x^n = \frac{x(x^n-1)}{x-1} (x\neq 1$)

Áp dụng điều trên để chứng minh bài toán sau:

$ a-b=( \sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b} )(\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+ ... +\sqrt[n]{a^{n-k}b^{k-1}} + ... +\sqrt[n]{ab^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}})$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 3/21/2013 11:34:01 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Hiển nhiên nếu $a=b$ thì đẳng thức trên luôn đúng. Với trường hợp $a\ne b$ thì ta cho $x= \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \ne 1$ vào đẳng thức ban đầu. Ta có
$ \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}+ \sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^2}+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^3}+\ldots+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^n}=\dfrac{\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\left ( \dfrac{a}{b}-1 \right )}{ \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}-1}$
$\Leftrightarrow \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}+ \sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^2}+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^3}+\ldots+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^n}=\dfrac{{\dfrac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}}.\dfrac{a-b}{b}}{{\dfrac{ \sqrt[n]a- \sqrt[n]b}{ \sqrt[n]b}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{b}{\sqrt[n]a}\left ( \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}+ \sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^2}+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^3}+\ldots+\sqrt[n]{(\dfrac{a}{b})^n}\right )=\dfrac{a-b}{ \sqrt[n]a- \sqrt[n]b}$
$\Leftrightarrow \sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}b}+ ... +\sqrt[n]{a^{n-k}b^{k-1}} + ... +\sqrt[n]{ab^{n-2}}+\sqrt[n]{b^{n-1}}=\dfrac{a-b}{ \sqrt[n]a- \sqrt[n]b}$
$\Leftrightarrow $ đpcm.

Trả lời 21-03-13 11:34 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks! – Trần Nhật Tân 21-03-13 11:35 PM