|
|
Dãy $(u_n)$ xác định bởi: $\begin{cases}u_1=\sqrt{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n},\forall n\geq 1\end{cases}$
Ta sẽ chừng minh $(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2.
Nghĩa là $u_n<u_{n+1}<2,\forall n\geq 1 (*).$
Dễ thấy $u_1<u_2<2$ nên $(*)$ đúng với $n=1$.
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$ nghĩa là $u_k<u_{k+1}<2$.
Suy ra $\sqrt{2+u_k}<\sqrt{2+u_{k+1}}<\sqrt{2+2}$ hay $u_{k+1}<u_{k+2}<2$.
Do đó $(*)$ đúng với $n=k+1$.
Theo nguyên lý quy nạp $(*)$ đúng với mọi $n$, khi đó dãy $(u_n)$ họi tụ đến $0<L\leq 2$.
Ta có: $L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L=2$.
|