Dãy bị chặn, giới hạn.

Question

Cho $(U_n):\,U_n=$ $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}+...+\sqrt{2}}}}}_{n\,dấu\,căn }.$

score 1 · Answer 1

Dãy

$(u_n)$ xác định bởi:

$\begin{cases}u_1=\sqrt{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n},\forall n\geq 1\end{cases}$
Ta sẽ chừng minh

$(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2.
Nghĩa là

$u_n<u_{n+1}<2,\forall n\geq 1 (*).$
Dễ thấy

$u_1<u_2<2$ nên

$(*)$ đúng với

$n=1$ .
Giả sử

$(*)$ đúng với

$n=k$ nghĩa là

$u_k<u_{k+1}<2$ .
Suy ra

$\sqrt{2+u_k}<\sqrt{2+u_{k+1}}<\sqrt{2+2}$ hay

$u_{k+1}<u_{k+2}<2$ .
Do đó

$(*)$ đúng với

$n=k+1$ .
Theo nguyên lý quy nạp

$(*)$ đúng với mọi

$n$ , khi đó dãy

$(u_n)$ họi tụ đến

$0<L\leq 2$ .
Ta có:

$L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L=2$ .