$I = \int\limits_2^e {\frac{{1 + xlnx - lnx - l{n^2}x}}{{{{(1 + xlnx)}^2}}}} dx$
$ = \int\limits_2^e {\frac{1}{{1 +
xlnx}}} dx - \int\limits_2^e {\frac{{lnx(lnx + 1)}}{{(1 + xlnx)}}} dx$
Chú ý: Nếu $y = \frac{1}{{1 + xlnx}}$ thì $y' = - \frac{{\ln x +
1}}{{{{(1 + xlnx)}^2}}}$
* Ta tính $A = - \int\limits_2^e {\frac{{lnx(lnx + 1)}}{{(1
+ xlnx)}}} dx$
Đặt $u = \ln x \Rightarrow du =
\frac{{dx}}{x}$
$dv =
- \frac{{\ln x + 1}}{{{{(1 + xlnx)}^2}}}dx \Leftarrow v = \frac{1}{{1 +
xlnx}}$
$ \Rightarrow A = \frac{{\ln x}}{{1 + xlnx}}\begin{cases}e \\ 2 \end{cases} - \int\limits_2^e {\frac{1}{{x(1 + xlnx)}}} dx$
$\Rightarrow I = \int\limits_2^e
{\frac{1}{{1 + xlnx}}} dx + \frac{1}{{1 + e}} - \frac{{\ln 2}}{{1 + 2\ln 2}} -
\int\limits_2^e {\frac{1}{{x(1 + xlnx)}}} dx$
$\Rightarrow I = \frac{1}{{1 + e}} -
\frac{{\ln 2}}{{1 + 2\ln 2}} + \int\limits_2^e {\frac{{x - 1}}{{x(1 + xlnx)}}}
dx$
* Ta tính $B = \int\limits_2^e
{\frac{{x - 1}}{{x(1 + xlnx)}}} dx$
$B = \int\limits_2^e {\frac{{x + x\ln x
- 1 - x\ln x}}{{x(1 + xlnx)}}} dx = \int\limits_2^e {\frac{{1 + \ln x}}{{1 +
x\ln x}}} dx - \int\limits_2^e {\frac{1}{x}} dx$
Đặt $t = 1 + xlnx \Rightarrow dt = (\ln
x + 1)dx$
$x = e \Rightarrow t = 1 + e$
$x = 2 \Rightarrow t = 1 + 2\ln 2$
$\Rightarrow B = \int\limits_{1 + 2\ln 2}^{1 + e} {\frac{{dt}}{t}} - \int\limits_2^e {\frac{1}{x}} dx = \ln t \begin{cases}1+e \\ 1+2ln2 \end{cases} - \ln x\begin{cases}e \\ 2 \end{cases}$
$\Rightarrow B = \ln (1 + e) - \ln (1 +
2\ln 2) - 1 - \ln 2$
Vậy $I = \frac{1}{{1 + e}} - \frac{{\ln
2}}{{1 + 2\ln 2}} + \ln (1 + e) - \ln (1 + 2\ln 2) - 1 - \ln 2.$