* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ${d_m}$:
$\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m$ $(x \ne 1)$
$\Leftrightarrow f(x) = 2{x^2} + (m - 4)x - m - 1 = 0$
Do \begin{cases}\Delta = {m^2} + 24 > 0\forall m \in R \\ f(1)
= - 3 \ne 0 \end{cases} nên $f(x)
= 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \ne 1$
Từ đây suy ra (C) luôn cắt ${d_m}$ tại
hai điểm phân biệt $A({x_1},2{x_1} + m),B({x_2},2{x_2} + m)$.
* $\overrightarrow {AB}
= ({x_2} - {x_1},2{x_2} - 2{x_1})$
$AB = \sqrt {5{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {5({S^2} - 4P)} = \frac{{\sqrt {5({m^2} + 24)} }}{2}$
$d(O,AB) = d(O,d) = \frac{{\left| m
\right|}}{{\sqrt 5 }}$
* Khi đó:
${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AB.d(O,AB) =
\frac{1}{2}\frac{{\sqrt {5({m^2} + 24)} }}{2}\frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5
}} = \frac{5}{4}$
$\Leftrightarrow \left| m \right|\sqrt {{m^2}
+ 24} = 5$
$ \Leftrightarrow {m^4} + 24{m^2} - 25 = 0$
$\Leftrightarrow m = \pm 1$