$x^{2}+\sqrt{x+\frac{3}{2}}=\frac{9}{4}$ (1)Điều kiện: $x \ge - \frac{3}{2}$
$(1) \Leftrightarrow {x^2} - \frac{9}{4} + \sqrt {x + \frac{3}{2}} = 0$
$\Leftrightarrow \left( {x - \frac{3}{2}} \right)\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \sqrt {x + \frac{3}{2}} = 0$
$\Leftrightarrow \left[ {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)\sqrt {x + \frac{3}{2}} + 1} \right]\sqrt {x + \frac{3}{2}} = 0$
$\Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$ hoặc $\left( {x - \frac{3}{2}} \right)\sqrt {x + \frac{3}{2}} + 1 = 0$ (2)
Đặt $t = \sqrt {x + \frac{3}{2}} ,t \ge 0$
$(2) \Leftrightarrow ({t^2} - 3)t + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^3} - 3t + 1 = 0$ (3)
Đặt $f(t) = {t^3} - 3t + 1$
Ta có: $f( - 2) = - 1,f(0) = 1,f(1) = - 1,f(2) = 3$
Dễ dàng chứng minh phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn (-2;2): một nghiệm thuộc
(-2;0), một nghiệm thuộc (0;1) và một nghiệm thuộc (1;2).
Đặt $t = 2\cos u,u \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$
${\rm{(3)}} \Leftrightarrow {\rm{8co}}{{\rm{s}}^3}u - 6\cos
u + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}u - 3\cos u +
\frac{1}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 3u =
- \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow u = \frac{{2\pi }}{9} \vee u = \frac{{4\pi
}}{9} \vee u = \frac{{8\pi }}{9}$
$\Leftrightarrow t = 2\cos \frac{{2\pi }}{9} \vee t = 2\cos
\frac{{4\pi }}{9}$ (loại $t = 2\cos
\frac{{8\pi }}{9} < 0$)
$\Leftrightarrow x = 4{\cos ^2}\frac{{2\pi }}{9} -
\frac{3}{2} \vee x = 4{\cos ^2}\frac{{4\pi }}{9} - \frac{3}{2}$
Tóm lại phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt: $-
\frac{3}{2};4{\cos ^2}\frac{{2\pi }}{9} - \frac{3}{2};4{\cos ^2}\frac{{4\pi
}}{9} - \frac{3}{2}$