tính tích phân

Question

$\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^{x}dx$

score 1 · Answer 1

$\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx=\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{e^xdx}{1+cosx}+\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{sinxe^xdx}{1+cosx}$

xét $I_1=\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{e^xdx}{1+cosx}=\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{e^xd(\frac{x}{2})}{cos^2\frac{x}{2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}e^xd(tan\frac{x}{2})=e^xtan \left| {\begin{matrix} \frac{\Pi }{2}\\ 0 \end{matrix}} \right.-\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}tan\frac{x}{2}d(e^x)$

$=e^\frac{\Pi }{2}-\int\limits_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{sinx}{1+cosx}e^xdx$

$\Rightarrow I=e^\frac{\Pi }{2}$

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 5/17/2013 8:59:50 PM

Ta sẽ dùng phương pháp tích phân từng phần để giải bài tập này

Đặt
$\begin{cases}u=\frac{1+\sin x }{1+\cos x } \\ dv=e^xdx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1+\sin x+\cos x }{(1+\cos x)^2 } \\ v=e^x \end{cases} $.
Theo công thức TPTP, ta có
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}udv=uv |_0^{\pi/2}- \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}vdu=\frac{1+\sin x }{1+\cos x }. e^x |_0^{\pi/2} - \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\sin x+\cos x }{(1+\cos x)^2 }. e^x dx$
$=2e^{\pi/2}-\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x }{1+\cos x} dx-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x\sin x }{(1+\cos x)^2 } dx (1)$
Với tích phân $I_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x\sin x }{(1+\cos x)^2 } dx $ ta lại đặt
$\begin{cases}u=e^x \\ dv=\frac{ \sin x }{(1+\cos x)^2 } dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=e^xdx \\ v=\frac{1}{1+\cos x} \end{cases} $.
Theo công thức TPTP, ta có
$I_1=\frac{e^x}{1+\cos x}|_0^{\pi/2}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x }{1+\cos x} dx =e^{\pi/2}-\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{ e^x }{1+\cos x} dx (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\boxed{I=e^{\pi/2}}$.

score 1 · Answer 3

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^x}}}{{2co{s^2}\frac{x}{2}}}} dx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}.{e^x}}}{{2cos\frac{x}{2}}}} dx$

$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^x}}}{{2co{s^2}\frac{x}{2}}}} dx + \int\limits_0^\pi t an\frac{x}{2}.{e^x}dx$
Khi tách đến đây bạn từng phần tích phân thứ hai sẽ triệt tiêu với tích phân số 1
Đặt $\begin{cases}u=tan\frac x2 \\ dv= e^xdx\end{cases}\rightarrow \begin{cases}du=\frac1{2cos^2\frac x2}dx \\ v=e^x \end{cases}$
$\rightarrow I=e^x.tan\frac x2|_0^{\frac{\pi}2}=e^{\frac{\pi}2}$

lịch sử