$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}2}\frac{e^x}{2cos^2\frac x2}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}2}\frac{2sin\frac x2.e^x}{2cos^2\frac x2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}2}\frac{e^x}{2cos^2\frac x2}dx+\int\limits_{0}^{\pi}tan\frac x2.e^xdx$Khi tách đến đây bạn từng phần tích phân thứ hai sẽ triệt tiêu với tích phân số 1 Đặt $\begin{cases}u=tan\frac x2 \\ dv= e^xdx\end{cases}\rightarrow \begin{cases}du=\frac1{2cos^2\frac x2}dx \\ v=e^x \end{cases}$$\rightarrow I=e^x.tan\frac x2|_0^{\frac{\pi}2}=e^{\frac{\pi}2}$
$I
=
\int\limits_0^{\frac{\pi
}
{2}
} {\frac
{{{e^x}
}}{{2co
{s^2
}\frac
{x
}{2}
}}} dx
+
\int\limits_0^{\frac{\pi
}
{2}
} {\frac
{{2sin\frac
{x}{2}cos\frac{x
}{2
}.
{e^x}
}}{{2cos\frac
{x
}{2}
}}} dx
$$ =
\int\limits_0^{\frac{\pi
}
{2}
} {\frac{
{{e^x
}}}{
{2co
{s^2
}\frac
{x
}{2}
}}} dx
+
\int\limits_0^\pi
t
an\frac
{x
}{2
}.
{e^x
}dx$Khi tách đến đây bạn từng phần tích phân thứ hai sẽ triệt tiêu với tích phân số 1 Đặt $\begin{cases}u=tan\frac x2 \\ dv= e^xdx\end{cases}\rightarrow \begin{cases}du=\frac1{2cos^2\frac x2}dx \\ v=e^x \end{cases}$$\rightarrow I=e^x.tan\frac x2|_0^{\frac{\pi}2}=e^{\frac{\pi}2}$