\[I = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /2} {\frac{{\sin x + \cos x}}{{({e^x}\sin x + 1)\sin x}}} dx\]Ta biển đổi như sau:
\[\frac{{\sin x + \cos x}}{{({e^x}\sin x + 1)\sin x}} = \frac{{({e^x}{{\sin }^2}x + \sin x) + ({e^x}\sin x\cos x + \cos x) - ({e^x}{{\sin }^2}x + {e^x}\sin x\cos x)}}{{({e^x}\sin x + 1)\sin x}}\]\[ = 1 + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{{e^x}\sin x + {e^x}\cos x}}{{{e^x}\sin x + 1}}\]\[ \Leftrightarrow I = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /2} {dx} + \int\limits_{\pi /6}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} - \int\limits_{\pi /6}^{\pi /2} {\frac{{{e^x}\sin x + {e^x}\cos x}}{{{e^x}\sin x + 1}}dx} \]
Đối với tích phân thứ ba: đặt $t = {e^x}\sin x + 1 \Rightarrow dt = ({e^x}\sin x + {e^x}\cos x)dt$.