* Gọi H là giao điểm của DM và AC,
O là tâm của hình vuông ABCD.
$(SDM) \cap (SAC) = SH$
Suy ra: SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.
* Ta có:
$BD \bot OH, BD \bot SH \Rightarrow BD \bot SO$
$ \Rightarrow ((SBD),(ABCD)) = SOH = 60^\circ$
* H là trọng tâm của tam giác ABD nên $OH = \frac{1}{3}AO =
\frac{1}{6}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}$
$ \Rightarrow SH = OH\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$
$ \Rightarrow V = \frac{1}{3}{\rm{Bh}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6
}}{{18}}$
* Trong (ABCD), kẻ DE song song với MC ($E \in AB$), qua H kẻ
$IK \bot DE (I \in MC, K \in DE)$, qua M kẻ $MN \bot DE (N \in DE)$.
Trong (SIK), kẻ $IP \bot SK (P \in SK)$.
Do $IK \bot DE, SH \bot DE \Rightarrow DE \bot (SIK) \Rightarrow DE \bot
IP$
Từ đây suy ra $IP \bot (SDE)$
$\Rightarrow d(SD,MC) = d(MC,(SDE)) = d(I,(SCDE)) = IP$
* $IK = MN = \frac{{AD.ME}}{{DE}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$
$\frac{{HK}}{{HI}} = \frac{{HD}}{{HM}} = 2 \Rightarrow KH =
\frac{{4a}}{{3\sqrt 5 }}$
$SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}} = \frac{{a\sqrt {47} }}{{3\sqrt {10} }}$
$IP = \frac{{SH.IK}}{{SK}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {47}
}}$
Vậy khoảng cách giữa SD và CM bằng $\frac{{2a\sqrt 3
}}{{\sqrt {47} }}$