Dễ thấy: $\frac{a}{b^{2}+c^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$ (1)
Thậy vậy: (1)$\Leftrightarrow \frac{a}{1-a^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{3}a-1)^{2}(\sqrt{3}a+2) \geq 0 (đúng \forall a)$(Quy đồng)
Chung minh tuong tu:$\frac{b}{c^{2}+a^{2}}\geq\frac{3\sqrt{3} }{2}b^{2}$(2) $\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq\frac{3\sqrt{3} }{2}c^{2}$(3)
Kết hợp diều kiện:$a^{2}+b^{2}+c^{2}$=1
Cộng vế theo vế (1),(2) và (3)$\Rightarrow$đpcm
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3} }{3}$