Biến đổi như sau$F=x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2+y^2-xy)+2xy$
$=(x+y)((x+y)^2-3xy)+2xy$
$=2007(2007^2-3xy)+2xy=2007^3-6019xy (1)$
Vậy $F min $ khi $xy max$ và ngược lại
Bây giờ ta sẽ chứng minh : $2006\leq xy\leq 1003.1004 (2)$
Thật vậy $xy=x(2007-x)=2007x-x^2$
Khi đó
$2006\leq xy\Leftrightarrow -x^2+2007x-2006\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(2006-x)\geq 0$
Luôn đúng vì $1\leq x\leq 2006$
$xy\leq 1003.1004\Leftrightarrow x^2-2007x+1003.1004\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1003)(x-1004)\geq 0$
Điều này cũng đúng vì hoặc $x\leq 1003$ hoặc $x\geq 1004$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra
$min F=2007^3-6019.1003.1004 $ khi một trong hai số bằng$1003$ , số còn lại bằng $1004$
$max F=2007^3-6019.2006$ khi một trong hai số bằng $1$ , số còn lại bằng $2006$