Cho dãy số $a_{n}$ xác định bởi $a_{1}=\frac{1}{2}$ và $a_{n}=\frac{a^{2}_{n}}{a^{2}_{n} - a_{n} + 1}$, $n=1,2,...$
a) Chứng minh dãy số $(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Đặt $b_{n}= a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ với mỗi số nguyên dương $n$. Tìm phần nguyên $\left[ {b_{n}} \right]$ và giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }b_{n}$
b.
Ta có:
       $1-a_{n+1}=1-\dfrac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}$
$\Leftrightarrow 1-a_{n+1}=\dfrac{1-a_n}{a_n^2-a_n+1}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a_{n+1}}=\dfrac{a_n^2-a_n+1}{1-a_n}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a_{n+1}}=-a_n+\dfrac{1}{1-a_n}$
$\Leftrightarrow a_n=\dfrac{1}{1-a_n}-\dfrac{1}{1-a_{n+1}}$
Từ đó dẫn tới:
$b_n=\sum_{k=1}^na_k$
      $=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{1-a_k}-\dfrac{1}{1-a_{k+1}}\right)$
      $=\dfrac{1}{1-a_1}-\dfrac{1}{1-a_{n+1}}$
      $=2-\dfrac{1}{1-a_{n+1}}$
Mà $0<a_{n+1}<a_1=\dfrac{1}{2}$ nên $0<b_n<1 \Rightarrow \lfloor b_n\rfloor=0$.
Và $\lim b_n=2-\dfrac{1}{1-\lim a_{n+1}}=1$
a.
Dễ thấy: $a_n>0, \forall n$.
Ta có:
$a_{n+1}-a_n=\dfrac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}-a_n$
                        $=\dfrac{-a_n+2a_n^2-a_n^3}{a_n^2-a_n+1}$
                        $=\dfrac{-a_n(1-a_n)^2}{a_n^2-a_n+1}<0$
Suy ra $(a_n)$ là một dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0.
Nên $\exists L$ sao cho $\lim a_n=L$.
Từ giả thiết, chuyển qua giới hạn ta có:
       $L=\dfrac{L^2}{L^2-L+1} $
$\Leftrightarrow L^3-L^2+L=L^2$
$ \Leftrightarrow L(L-1)^2=0 \Leftrightarrow L=0$, vì $L\le a_1=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $\lim a_n=0$
$b)$  Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh
$b_n=a_1+a_2+...+a_n=1-\frac{a_{n+1}}{1-a_{n+1}}$
Với $n=1$   :  $a_1=\frac{1}{2}=1-\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$
Với  $n=2$   : $a_1+a_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1-\frac{\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{7}}$
Giả sử bài toán đúng đến $n$ , khi đó
$b_{n+1}=b_n+a_{n+1}=1-\frac{a_{n+1}}{1-a_{n+1}}+a_{n+1}=1-\frac{a_{n+1}^2}{1-a_{n+1}}$
                                                                                               $=1-\frac{a_{n+2}}{1-a_{n+2}}$
Cũng đúng với $n+1$
Do đó $b_n=1-\frac{a_{n+1}}{1-a_{n+1}}$ với $\forall n$
Từ đây suy ra $ \left[ b_n{} \right]=0$
Hơn nữa , do $\mathop {\lim a_n }\limits_{n \to \infty }=0\Rightarrow \mathop {\lim b_n }\limits_{n \to \infty }=1$
$a)$ Do $(a_{n}^2-a_n+1)-a_n=(a_n-1)^2\geq 0\Rightarrow a_n^2-a_n+1\geq a_n$
$\Rightarrow 0\leq a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}\leq a_n$
Như vậy ${{a_n}}$  là dãy không tăng , bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$ và bị chặn dưới bởi $0$ nên tồn tại
$\mathop {\lim a_n}\limits_{n \to \infty }=g$
Chuyển qua giới hạn ta có    $g=\frac{g^2}{g^2-g+1}\Rightarrow g(g-1)^2=0$
Do $g\leq \frac{1}{2}$ nên $g=0$

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chat chit và chém gió
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
  • vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
  • ๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
  • quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
  • quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
  • quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
  • quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
  • nguyenlena2611: talk_to_the_hand 12/24/2018 9:24:22 PM
  • nguyenlena2611: big_grinsurpriseblushing 12/24/2018 9:28:35 PM
  • Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
  • Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
  • Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
  • Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
  • Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
  • dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
  • dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
  • dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
  • dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
  • dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
  • dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
  • dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
  • nln: winking 2/28/2019 9:02:14 PM
  • nln: big_grin 2/28/2019 9:02:16 PM
  • nln: smug 2/28/2019 9:02:18 PM
  • nln: talk_to_the_hand 2/28/2019 9:02:20 PM
  • nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
  • nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
  • dhfh: sad 3/2/2019 9:27:26 PM
  • ๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
  • ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
  • ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
  • dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
  • ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
  • gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
  • gdfgfd: sadsadsadsadsadsad 4/14/2019 9:59:30 PM
  • fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
  • gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
  • linhkim2401: big_hug 7/3/2019 9:35:43 AM
  • ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
  • ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
  • ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
  • ddfhfhdff: big_grinwhistling 7/23/2019 10:32:50 PM
  • ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
  • huy31012002:9/13/2019 10:43:52 PM
  • huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
  • hoangthiennhat29: pig 4/2/2020 9:48:11 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
  • cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
  • cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
  • cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
  • cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
  • cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
  • cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
  • nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
  • minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
  • giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
  • giocon123fa: call_me 1/31/2021 10:32:46 PM
  • giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
  • giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơilaughing) 1/31/2021 10:42:37 PM
  • manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
  • vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
  • vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
  • L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
  • tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
  • dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
  • dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
  • dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
  • Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
  • ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
  • ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
  • nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
  • nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
  • nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
  • nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
  • nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • dvthuat
  • hoàng anh thọ
  • nhungtt0312
  • Xusint
  • tiendat.tran.79
  • babylove_yourfriend_1996
  • thaonguyenxanh1369
  • hoangthao0794
  • zzzz1410
  • watashitipho
  • HọcTạiNhà
  • Cá Hêu
  • peonycherry
  • phanqk1996
  • giothienxung
  • khoaita567
  • nguyentranthuylinhkt
  • maimatmet
  • minh.mai.td
  • quybalamcam
  • m_internet001
  • bangtuyettrangsocola
  • chizjzj
  • vuivequa052
  • haibanh237
  • sweetmilk1412
  • panhhuu
  • mekebinh
  • Nghịch Thuỷ Hàn
  • Lone star
  • LanguaeofLegend
  • huongduong2603
  • i_love_you_12387
  • a ku
  • heohong_congchua
  • impossitable111
  • khanh
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • huynhhoangphu.10k7
  • namduong2016
  • vycreepers
  • Bảo Phươngg
  • Yurika Yuki
  • tinysweets98
  • Thùy Trang
  • Hàn Thiên Dii
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • LeQuynh
  • thithuan27
  • huhunhh
  • ๖ۣۜDemonღ
  • nguyenxinh6295
  • phuc642003
  • diephuynh2009
  • Lê Giang
  • Han Yoon Min
  • ...
  • thuyvan
  • Mặt Trời Bé
  • DoTri69
  • bac1024578
  • Hạ Vân
  • thuong0122
  • nhakhoahoc43
  • tuanngo.apd
  • Đức Vỹ
  • ๖ۣۜCold
  • Lethu031193
  • salihova.eldara