Câu $a$: Ta có $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$ $\widehat{ABD}=\widehat{ANB}$ $($Cùng phụ $\widehat{BAN} )$
$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{ANB} \Rightarrow \widehat{DNM}+\widehat{DCM}=180$
Vậy $CDNM$ nội tiếp
Câu $b$: Tam giác $ACB$ và $ABM$ là hai tam giác vuông có chung góc nhọn $\widehat{CAB}$ nên đồng dạng
$\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AM} \Rightarrow AC.AM=AB^2=4R^2$
Tương tự $AD.AN=4R^2$
Câu $c$ : Khi $\widehat{CAB}=30 \Rightarrow MB=AB.tan30=\frac{2R}{\sqrt3}$
$\Rightarrow S_{ABM}=\frac{1}{2}AB.BM=\frac{2R^2}{\sqrt3}$
$S_{AOC}=\frac{1}{2}OC.OM.sin\widehat{AOC}=R^2\frac{\sqrt3}{4}$
Vì $\widehat{COB}=60 $ nên diện tích quạt $COB$ bằng $\frac{1}{6} $ diện tích hình tròn $=\frac{\pi R^2}{6}$
Từ đây suy ra diện tích cần tìm là $R^2(\frac{2}{\sqrt3}-\frac{\sqrt3}{4}-\frac{\pi}{6})$