Bài này chủ yếu là dùng phương pháp đổi biến tích phân , trước tiên , ta tính nguyên hàm của hàm số đã cho
$\int{\frac{2x-1}{\sqrt{4-3x^2}}}=\int\frac{2x}{\sqrt{4-3x^2}}-\int\frac{1}{\sqrt{4-3x^2}}$
$\int\frac{2x}{\sqrt{4-3x^2}}=-\frac{1}{3}\int\frac{-6x}{\sqrt{4-3x^2}}=-\frac{1}{3}\int\frac{d(4-3x^2)}{\sqrt{4-3x^2}}=-\frac{1}{3}.2.\sqrt{4-3x^2}$
$\int\frac{1}{\sqrt{4-3x^2}}=\int\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x\sqrt3}{2}})^2}=\int\frac{1}{2}.\frac{2}{\sqrt3}.\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{1-(\frac{x\sqrt3}{2})^2}}$
$=\frac{1}{\sqrt3}.sin^{-1}(\frac{x\sqrt3}{2})$
Từ đây ta suy ra nguyên hàm của hàm đã cho là
$\int\frac{2x-1}{\sqrt{3-4x^2}}=-\frac{2}{3}\sqrt{4-3x^2}-\frac{1}{\sqrt3}sin^{-1}(\frac{x\sqrt3}{2})$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}\frac{2x-1}{\sqrt{4-3x^2}}=(-\frac{2}{3}-\frac{1}{\sqrt3}sin^{-1}(\frac{\sqrt3}{2}))-(-\frac{4}{3}-\frac{1}{\sqrt3}sin^{-1}0)=\frac{2}{3}-\frac{\pi}{3\sqrt3}$