Biến đổi từng căn thức như sau$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+c(a+b+c)}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+ca+cb+c^2}}$
$=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}=\sqrt\frac{a}{c+a}.\sqrt\frac{b}{c+b}$
Theo BĐT Cauchy $\sqrt x.\sqrt y\leq\frac{1}{2}(x+y)$ Do đó
$\sqrt\frac{ab}{ab+c}\le \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b})$
Tương tự $\sqrt\frac{bc}{bc+a}\le\frac{1}{2}(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a})$
$\sqrt\frac{ca}{ca+b}\le\frac{1}{2}(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b})$
Cộng theo vế , ta có $ GTLN=\frac{3}{2}$
Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{3}$