$P=\int\limits_{0}^{2}x\sqrt{2x-x^2}dx$
Đặt $x=u+1\Rightarrow 2x-x^2=2(u+1)-(u+1)^2=1-u^2 , dx=du$
$P=\int\limits_{-1}^{1}(u+1)\sqrt{1-u^2}du$
Đặt $u=sint , t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\Rightarrow \sqrt{1-u^2}=cost , du=cost.dt$
$P=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(sint+1)cos^2t.dt$
Biến đổi hàm lượng giác như sau $(sint+1)cos^2t=sint.cos^2t+cos^2t=sint.cos^2t+\frac{cos{2t}+1}{2}$
$P=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sint.cos^2t.dt+\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{cos{2t}}{2}+\frac{1}{2})dt$
Vì $sint.cos^2t$ là hàm số lẻ nên tích phân của nó trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}.\frac{\pi}{2}]$ bằng $0$
$\int(\frac{cos{2t}}{2}+\frac{1}{2})dt=\frac{sin{2t}}{4}+\frac{t}{2}+C$
Từ đây ta có
$P=\frac{sin\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac{sin(-\pi)}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$