$I=\int\limits_{1}^{e}(x^{2}-x)e^{x}dx=\int\limits_{1}^{e}x^{2}.e^{x}dx-\int\limits_{1}^{e}x.e^{x}dx$
$I_{2}=\int\limits_{1}^{e}x^2.e^xdx=\int\limits_{1}^{e}x^2.d(e^x)=x^2.e^x\begin{cases}e \\ 1 \end{cases}-\int\limits_{1}^{e}2x.e^xdx$
$=>I=x^2.e^x\begin{cases}e \\ 1 \end{cases}-3\int\limits_{1}^{e}x.e^x.dx=e^{e+2}-e-3\int\limits_{1}^{e}x.d(e^x)$
$=e^{e+2}-e-3.( x.e^x\begin{cases}e \\ 1 \end{cases}-\int\limits_{1}^{e}e^x.dx)$
$=e^{e+2}-e-3.e^{e+1}+3.e^e $