ĐKXĐ : $-x^2+4x-3\ge0\Leftrightarrow (x-1)(3-x)\ge0\Leftrightarrow 1\le x\le 3$Trong tập xác định , mẫu só $2x-1$ luôn dương
Do đó
$y=\frac{\sqrt{-x^2+4x-3}}{2x-1}\ge0$
Dấu bằng có khi $x=1 , 3$ . Vậy GTNN của $y$ là $0$
Bây giờ ta sẽ tìm GTLN bằng phương pháp đạo hàm
$y'(x)=\frac{\frac{1}{2}.(-2x+4).\frac{1}{\sqrt{-x^2+4x+3}}.(2x-1)-\sqrt{-x^2+4x-3}.2}{(2x-1)^2}$
$y'(x)=0\Leftrightarrow \frac{(-x+2)(2x-1)}{\sqrt{-x^2+4x-3}}-2\sqrt{-x^2+4x-3}=0$
$\Leftrightarrow (-x+2)(2x-1)-2(-x^2+4x-3)=0$
$\Leftrightarrow (-2x^2+5x-2)-(-2x^2+8x-6)=0$
$\Leftrightarrow -3x+4=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$
Vì hàm số đã đạt GTNN tại hai đầu mút $1,3$ nên theo định lý Cauchy , cực trị tại $x=\frac{4}{3}$ là GTLN của hàm só $y$
Vậy GTLN của $y$ là $y(\frac{4}{3})=\frac{1}{\sqrt 5}$