đại 12

Question

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

$y=\frac{4cos^4x+sin^2x}{4sin^4x+cos^2x}$ với

$x \epsilon [-\frac{\Pi }{2};\Pi ]$

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 6/9/2013 12:47:24 PM

Đặt

$cos^2x=a , sin^2x=b , a,b\ge0 , a+b=1$ . Khi đó

$y=\frac{4cos^4x+sin^2x}{4sin^4x+cos^2x}=\frac{4a^2+b}{4b^2+a}$

Dựa vào các hệ số của

$a , b$ ta dự đó GTLN và GTNN là

$4 , \frac{1}{4}$ . thật vậy

$y\le4\Leftrightarrow 4a^2+b\le 4(4b^2+a)=4a+16b^2$

$\Leftrightarrow 4a-4a^2\ge b-16b^2$

$\Leftrightarrow 4a(1-a)\ge b(1-16b)$

$\Leftrightarrow 4ab\ge b(1-16b)$ Vì

$1-a=b$

$\Leftrightarrow 4a\ge 1-16b$

$\Leftrightarrow 4a+16b\ge 1$ Đúng vì

$4a+16b\ge4a+4b=4$

Vậy GTLN của

$y$ là

$4$ khi

$a=1,b=0$

Nghĩa là

$x=0,\pi$

GTNN của

$y=\frac{1}{4}$ được chứng minh hoàn toàn tương tự

1 Đáp án