Đặt $cos^2x=a , sin^2x=b , a,b\ge0 , a+b=1$ . Khi đó$y=\frac{4cos^4x+sin^2x}{4sin^4x+cos^2x}=\frac{4a^2+b}{4b^2+a}$
Dựa vào các hệ số của $a , b$ ta dự đó GTLN và GTNN là $4 , \frac{1}{4}$ . thật vậy
$y\le4\Leftrightarrow 4a^2+b\le 4(4b^2+a)=4a+16b^2$
$\Leftrightarrow 4a-4a^2\ge b-16b^2$
$\Leftrightarrow 4a(1-a)\ge b(1-16b)$
$\Leftrightarrow 4ab\ge b(1-16b)$ Vì $1-a=b$
$\Leftrightarrow 4a\ge 1-16b$
$\Leftrightarrow 4a+16b\ge 1$ Đúng vì $4a+16b\ge4a+4b=4$
Vậy GTLN của $y$ là $4$ khi $a=1,b=0$
Nghĩa là $x=0,\pi$
GTNN của $y=\frac{1}{4}$ được chứng minh hoàn toàn tương tự