$x+3=m\sqrt{x^2+1}$$\Leftrightarrow m=f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}$
Ta sẽ khảo sát hàm só $f(x)$ để tìm miền giá trị của nó
$f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-(x+3).\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$
$=\frac{x^2+1-x(x+3)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{1-3x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$
Vậy
$f'(x)=0 $ khi $x=\frac{1}{3}$
Khi $x\in (\frac{1}{3},+\infty) $ $f(x)$ nghịch biến
Khi $x\in(-\infty ,\frac{1}{3}) $ $f(x)$ đồng biến
Hơn nữa
$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}=1 , \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}=-1 , f(\frac{1}{3})=\sqrt{10}$
Suy ra miền giá trị của $f(x)$ là $D(f)=(-1,\sqrt{10}]$
Để PT đã cho có nghiệm thì
$m\in (-1,\sqrt{10}]$