Bài này có hai cách , một cách sử dụng đạo hàm , ý tưởng đơn giản nhưng tính toán hơi cồng kềnh . Cách sau đây nhẹ về mặt tính toán nhưng hơi thiếu tự nhiênTrước hết ta áp dụng BĐT cơ bản
4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2)⇒ab≤1≤a2+b22
GTNN của P
P=3a2b2+3ab+2√a2+b2
≥2ab+2√a2+b2 . Ta sẽ CM GTNN của biểu thức này là 4
2ab+2√a2+b2≥4
⇔√a2+b2≥2−ab
⇔a2+b2≥(2−ab)2
⇔4−2ab≥4−4ab+a2b2
⇔2ab≥a2b2 Đúng vì ab∈[0,1]
Đẳng thức xảy ra ⇔ab=0⇔(a,b)=(0,2),(2,0)
Vậy GTNN của P là 4 khi có một số bằng 0 , một số bằng 2
GTLN của P
P=3a2b2+3ab+2√a2+b2
≤3+3ab+√2.(a2+b2) Vì ab∈[0,1],a2+b2≥2
=3+(3−2√2)ab+2√2ab+√2(a2+b2)
≤3+(3−2√2)+√2(2ab+a2+b2)
=6−2√2+√2.4=6+2√2
Đẳng thức xảy ra ⇔ab=1⇔a=b=1
Vậy GTLN của P là 6+2√2 khi a=b=1