Áp dụng BĐT Cauchy ta có$a+7+8+8\ge3\sqrt[3]{64(a+7)}=12\sqrt[3]{a+7}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{a+7}\le \frac{a+23}{12}$
Tương tự ta có
$A=\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\le\frac{a+b+c+69}{12}$
Ta sẽ chứng minh
$a+b+c+69\le24(a^4+b^4+c^4)$
áp dụng BĐT Cauchy một lần nữa
$a^4+1+1+1\ge 4a$
$\Rightarrow a\le \frac{a^4+3}{4}$
$\Rightarrow a+b+c+69\le \frac{a^4+b^4+c^4}{4}+\frac{9}{4}+69$
Mà
$\frac{a^4+b^4+c^4}{4}+\frac{9}{4}+69\le 24(a^4+b^4+c^4)$
$\Leftrightarrow (a^4+b^4+c^4).(24-\frac{1}{4})\ge 69+\frac{9}{4}=\frac{285}{4}$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge 3$
Chứng minh BĐT cuối cùng này như sau
$a^4+b^4+b^4+1\ge 4\sqrt[4]{a^4b^8}=4ab^2$
$b^4+c^4+c^4+1\ge 4bc^2$
$c^4+a^4+a^4+1\ge 4 ca^2$
$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)+3\ge 12$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge 3$