Bước 1. Tính $\int x^2e^{x^3}dx=\frac{1}{3}\int d(x^3).e^{x^3}=\frac{1}{3}.e^{x^3}$ (PP đổi biến tích phân)$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}x^2e^{x^3}dx=\frac{1}{3}(e^1-e^0)=\frac{1}{3}(e-1)$
Bước 2 . Tính $\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt x}dx$ bằng phương pháp hữu tỉ hóa
Đặt $u=\sqrt[4]{x}=x^\frac{1}{4}\in[0,1]\Rightarrow du=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}dx$
$\Rightarrow dx=4du.x^\frac{3}{4}=4du.u^3$
$\int\limits_{0}^{1}\frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt x}dx=\int\limits_{0}^{1}\frac{u}{1+u^2}.4u^3.du=4\int\limits_{0}^{1}\frac{u^4}{1+u^2}du$
$=4\int\limits_{0}^{1}(\frac{u^4-1}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1})du$
$=4\int\limits_{0}^{1}(u^2-1)du+4\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{u^2+1}du$
Do $\int(u^2-1)du=\frac{1}{3}u^3-u , \int\frac{1}{u^2+1}=tan^{-1}u$ nên
$=4(\frac{1}{3}-1)+4.(tan^{-1}1-tan^{-1}0)$
$=4.-\frac{2}{3}+4.\frac{\pi}{4}$
$=\pi-\frac{8}{3}$
Bước 3. Kết luận
$\int\limits_{0}^{1}(x^2e^{x^3}+\frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt x})dx=\frac{1}{3}(e-1)+\pi-\frac{8}{3}=\frac{e}{3}+\pi-3$