Ta cần bài toán phụ sauNếu $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ thì $tanx >x$
Chứng minh : Đặt $f(x)=tanx-x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{cos^2x}-1>0 \forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$
Vậy $f(x)$ đồng biến trên khoảng này $\Rightarrow f(x)>f(0)=0$
$\Rightarrow tanx>x$
Trở lại với bài toán ban đầu
Đặt $g(x)=tanx-x-\frac{x^3}{3}$
$\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{cos^2x}-1-x^2$
$=\frac{sin^2x}{cos^2x}-x^2=tan^2x-x^2>0$ ( Theo bài toán phụ)
Vậy $g(x)$ đồng biến trên $(0,\frac{\pi}{2})\Rightarrow g(x)>g(0)=0$
$\Rightarrow tanx>x+\frac{x^3}{3}$