giải giup minh câu 2 cua bài toán đi

Question

cho hàm số y=

$x^{3}+3x^2-mx+2$

a. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0

b. tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị của (

$C_{m})$ đến tiếp tuyến của (

$C_{m})$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là lớn nhất

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 6/18/2013 4:15:19 PM

$y=x^3+3x^2-mx+2$

$y'=3x^2+6x-m$

Gọi

$A(x_1,y_1) , B(x_2,y_2)$ là hai điểm cực trị .

Khi đó

$x_1,x_2$ là hai nghiệm của tam thức

$3x^2+6x-m=0$

$\triangle'=9+3m\ge 0\Leftrightarrow m\ge -3$

Và

$\begin{cases}x_1+x_2=-2 \\ x_1.x_2=-\frac{m}{3} \end{cases}$

Đặt phép chia đa thức ta có

$x^3+3x^2-mx+2=(x^2+2x-\frac{m}{3})(x+1)-(\frac{2m}{3}+2)x+\frac{m}{3}+2$

$\Rightarrow y=\frac{y'}{3}-(\frac{2m}{3}+2)x+\frac{m}{3}+2$

Do

$y'(x_1)=y'(x_2)=0$

$\Rightarrow \begin{cases}y_1=-(\frac{2m}{3}+2)x_1+\frac{m}{3}+2 \\ y_2=-(\frac{2m}{3}+2)x_2+\frac{m}{3}+2 \end{cases}$

$\Rightarrow y_1+y_2=\frac{4m}{3}+4+\frac{2m}{3}+4=2m+8$

Vậy tọa độ của trung điểm

$AB$ là

$I(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})=(-1,m+4) (1)$

Khi

$x=1 , y(1)=6-m , y'(1)=9-m$

Tiếp tuyến đi qua điểm

$(1,6-m)$ với hệ số góc

$9-m$ có phương trình là

$d: y+(m-9)x+3=0 (2)$

Từ

$(1),(2)$ suy ra khoảng cách cần tìm là

$h=\frac{|m+4+9-m+3|}{\sqrt{1+(m-9)^2}}$

$=\frac{16}{\sqrt{1+(m-9)^2}}\le 16$

Dấu bằng có

$\Leftrightarrow m=9$

1 Đáp án