$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos^3 x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{sin^3 (x+\frac{\pi}{2})}dx$Đến đây đặt $t= tag \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}$ $dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ --$sin^3 (x+\frac{\pi}{2})=\frac{8t^3}{(1+t)^3}$
Tích phân trở thành
$\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{t^4+2t^2+1}{t^3}dt$ Đến đây thì dễ rồi