Tạm thời mình chỉ nghĩ ra 1 cách. Phân tích
$I = \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}}dx = \int \dfrac{x}{\sqrt{(x +\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} }}dx$
Đặt $x +\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}\tan t \Rightarrow dx = \dfrac{3}{4}\dfrac{1}{\cos^2 t}dt$
Vậy $I = \int \dfrac{\dfrac{3}{4}\tan t -\dfrac{1}{2}}{\sqrt{\dfrac{3}{4}(1 + \tan^2 t)}} \dfrac{3}{4}\dfrac{1}{\cos^2 t}dt$
$= \dfrac{\sqrt 3}{2} \int \dfrac{\dfrac{3}{4}\tan t -\dfrac{1}{2}}{\cos t}dt$
$= \dfrac{3\sqrt 3}{4} \int \dfrac{\sin t}{\cos^2 t}dt - \dfrac{\sqrt 3}{4} \int \dfrac{1}{\cos t}dt$
2 tích phân này khá cơ bản rồi bạn làm nốt