Ta có $S=\frac{1}{4}(a^2+b^2)$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}ab.sinC=a^2+b^2$
$\Leftrightarrow 2ab.sinC=a^2+b^2$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+2ab(1-sinC)=0$ (1)
Thấy rõ $(a-b)^2\geq 0$; $2ab(1-sinC)\geq 0$
nên (1) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=b\\ sinC=1 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=b \\ C=90 \end{array} \right.$
Vậy tam giác ABC vuông cân tại C