Ta có thể viết phương trình lại thành:$\sin A\left(2\cos A+\cos C\right)=\sin B\left(2\cos B+\cos C\right)\\\Leftrightarrow \sin2A+\sin A\cos C=\sin2B+\sin B\cos C\\\Leftrightarrow \sin2A-\sin2B=\cos C\left(\sin B-\sin A\right)\\\Leftrightarrow 2\sin(A-B)\cos(A+B)=\cos C\times2\sin\dfrac{B-A}{2}\cos\dfrac{B+A}{2}\\\Leftrightarrow -2\cos C\sin(A-B)+\cos C\times2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}=0\\\Leftrightarrow 2\cos C\sin\dfrac{A-B}{2}\left(\cos\frac{A+B}{2}-\cos\frac{A-B}{2}\right)=0$
Thấy rõ: $\cos\frac{A+B}{2}-\cos\frac{A-B}{2}<0\,\,(1)$ Do nếu $x \cos y$.
Ta lại có $\left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2}$ và $cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}\,\,(2)$ nên nếu $A-B>0$ ta dể dàng suy ra $(1),$ nếu $A-B<0$ tức $B-A>0$ suy ra $cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2}$ mà ta lại có $(2)$ nên dể dàng suy ra $(1)$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{1}\cos C=0 \\\sin\dfrac{A-B}{2}=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}C=\dfrac{\pi}{2} \\A=B \end{array}\right.$
Vậy: $\Delta ABC$ vuông hoặc cân ở $C.$