Hệ phương trình.

Question

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^4+2}=y \\x^2+2x\left(y-1\right)+y^2-6y+1=0 \end{cases}\,\,\,\left(x;\,y\in\mathbb{R}\right).$$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 7/4/2013 11:42:35 AM

Điều kiện $x \ge 1.$
Coi PT thứ hai là PT bậc hai theo $x$ tham số $y$. Để PT có nghiệm thì \Leftrightarrow
$\Delta'_y \ge 0\Leftrightarrow (y-1)^2-(y^2-6y+1) \ge 0 \Leftrightarrow 4y \ge 0\Leftrightarrow y \ge 0.$
Ngoài ra ta còn tính được $x = 1-y\pm 2\sqrt y$.
Xét hai trường hợp

$\bullet x = 1-y- 2\sqrt y$.
Từ $x \ge 1 \Rightarrow y+ 2\sqrt y \le 0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=1.$
Kiểm tra lại $(x,y) =(1,0)$ là nghiệm của hệ.

$\bullet x = 1-y+ 2\sqrt y$.
Suy ra $2-x = y- 2\sqrt y+1=\left ( \sqrt y-1 \right )^2$
+ Nếu $y \ge 1$ thì từ hệ thứ nhất và điều kiện $0 \le x \le 2$ ta có
$\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1} \le \sqrt 3 +1 \le \sqrt{y^4+2}+y$.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi $x=2, y=1$.
+ Nếu $0 < y <1$ thì từ $x = 1-y+ 2\sqrt y$ suy ra
$\begin{cases}x+1=2-y+ 2\sqrt y >y+2>y^4+2 \\ x-1=-y+ 2\sqrt y >y>y^4 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}\sqrt{x+1}>\sqrt{y^4+2} \\ \sqrt[4]{x-1}>y \end{cases}$
$\Rightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}>\sqrt{y^4+2}+y$, vô lý.

+ Nếu $y=0$ thì hiển nhiên $x=1.$

Vậy $(x,y)= (1,0), (2,1).$

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

xét pt1: $\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}=y+\sqrt{y^{4}+2}\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)+2}+\sqrt[4]{x-1}=\sqrt{y^{4}+2}+\sqrt[4]{y^{4}}(*)\Rightarrow đặt f(t)=\sqrt{t+2}+\sqrt[4]{t} vì hàm f(t) luôn đồng biến nên f(x-1)=f(y^{4}) khi x-1=y^{4}. pt2: x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-2y+1=4y\Rightarrow y\geq 0 \Rightarrow y=\sqrt[4]{y}(*). pt2\Leftrightarrow (x-1)^{2}+2xy+y^{2}-6y=0 thay x-1=y^{4}\Rightarrow y^{8}++2y^{5}+y^{2}-4y=0\Leftrightarrow y.(f(y)=y^{7}+2y^{4}+y-4)=0\Rightarrow y=0 hoặc f(y)=0. mà f'(y)= 7y^{6}+8y^{3}+1>0 \forall y>0 => f(y)=0 có nghiệm duy nhất là y=1$

bạn nghĩ mình ko thể làm đc bài này ah? vớ vẩn! – bigrockerman10121012 04-07-13 04:47 PM

Đây hình như là lời giải của một số web khác :) – Trần Nhật Tân 04-07-13 03:34 PM

Hỏi	04-07-13 09:56 AM
Lượt xem	1419
Hoạt động	04-07-13 01:08 PM

Hệ phương trình.

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^4+2}=y \\x^2+2x\left(y-1\right)+y^2-6y+1=0 \end{cases}\,\,\,\left(x;\,y\in\mathbb{R}\right).$$

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Hệ phương trình.

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^4+2}=y \\x^2+2x\left(y-1\right)+y^2-6y+1=0 \end{cases}\,\,\,\left(x;\,y\in\mathbb{R}\right).$$

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan