Giúp em ạ

Question

Cho

$\triangle ABC$ có góc

$\widehat{A}=90^0$ , AH vuông góc BC,

$M \in BC$ sao cho:

$\sqrt[3]{MB^2.AB^2} + \sqrt[3]{MC^2.AC^2} = \sqrt[3]{BC^4}$

$CMR: M \equiv H$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 7/11/2013 10:26:42 AM

Ta cần phải chứng minh

Nếu

$M \in BC$ sao cho:

$\sqrt[3]{MB^2.AB^2} + \sqrt[3]{MC^2.AC^2} = \sqrt[3]{BC^4}$

Thì

$M \equiv H.$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì

$\left\{ \begin{array}{l} AB^2=BC.BH\\ AC^2=BC.CH \end{array} \right.$ suy ra

$\sqrt[3]{MB^2.AB^2} + \sqrt[3]{MC^2.AC^2} = \sqrt[3]{BC^4}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{MB^2. BC.BH } + \sqrt[3]{MC^2. BC.CH } = \sqrt[3]{BC^4}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{MB^2.BH } + \sqrt[3]{MC^2.CH } = BC$

Mặt khác theo BĐT Cô-si

$\sqrt[3]{MB^2.BH }=\sqrt[3]{MB.MB.BH } \le \frac{MB+MB+BH}{3}=\frac{2MB+BH}{3}$

Tương tự

$\sqrt[3]{MC^2.CH } \le \frac{2MC+CH}{3}$

Suy ra

$\sqrt[3]{MB^2.BH } + \sqrt[3]{MC^2.CH } \le \frac{2MB+BH}{3}+\frac{2MC+CH}{3}= BC$

Điều này xảy ra

$\Leftrightarrow \begin{cases}MB=HB \\ MC=HC \end{cases}\Leftrightarrow$

$M \equiv H.$

score 1 · Answer 2

Giả sử giả thiết

$M \equiv H$ là đúng

$\Rightarrow \sqrt[3]{MB^2.AB^2} + \sqrt[3]{MC^2.AC^2} = \sqrt[3]{BC^4}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{HB^2.AB^2} + \sqrt[3]{HC^2.AC^2} = \sqrt[3]{BC^4}(1)$

Mà AH là đường cao

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB^2=BC.BH\\ AC^2=BC.CH \end{array} \right.$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow \sqrt[3]{BC}(BH+CH)=\sqrt[3]{BC^4}$

$\Leftrightarrow BC.\sqrt[3]{BC}=\sqrt[3]{BC^4}$ (đúng)

$\Rightarrow đpcm$

Đề bài bắt chứng minh chiều ngược lại em ơi :) – Trần Nhật Tân 11-07-13 10:18 AM

Nếu đúng bạn nhấn V để chấp nhận, nhấn mũi tên để vote up cho đáp án của mình nha. Cảm ơn :) – NguyễnTốngKhánhLinh 10-07-13 03:10 PM

2 Đáp án